Теорема о переходе к пределу в неравенстве и лемма об отделимости от нуля.

$\forall{n \in \mathbb{N}}~~ a_{n} \leq b_{n},~~ \lim_{n \to \infty} a_{n}=a,~~ \lim_{n \to \infty} b_{n}=b \Rightarrow a \leq b$

От противного: $b < a$. Пусть $\epsilon = \dfrac{a-b}{2}$, тогда: $b_{n} < b + \epsilon = b + \dfrac{a-b}{2} = \dfrac{a+b}{2} = a - \epsilon \leq a_{n} \Rightarrow b_{n} < a_{n}$ - противоречие.

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a \neq 0 \Rightarrow \exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |a_{n}| > \dfrac{|a|}{2}$ В частности, $a > 0 \Rightarrow a_{n} > \dfrac{a}{2} > 0$ и $a < 0 \Rightarrow a_{n} < \dfrac{a}{2} < 0$

Пусть $\epsilon = \dfrac{|a|}{2} > 0$, тогда по определению $\exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |a_{n}-a| < \dfrac{|a|}{2}$, а значит: $a - \dfrac{|a|}{2} < a_{n} < a + \dfrac{|a|}{2} \Rightarrow |a_{n}| > |a| - \dfrac{|a|}{2} = \dfrac{|a|}{2}$, из чего следует: $$\begin{cases} a>0,~~ a_{n} > \dfrac{a}{2} \\ a<0,~~ a_{n} < \dfrac{a}{2} \\ \end{cases}$$